有限幂零群的若干次直积( Some subdirect products of finite nilpotent groups )

DM Evans Mutually permutable product nilpotent group

本文的出发点是E.Hrushovski的引理：引理1.1。设$I$为索引集，$(G_I:I\in)$为组序列。假定在I}G_i$中存在直积$G=\prod_{I\ 的子群$H$，它具有以下两个性质:(I)对于所有$I，j\n在I$中，从$G$到$G_iimes G_j$的自然投影对$H$有限制，即$\{(f(I),f(j)):f\in H\}=G_iimes G_j$；(ii)对于i$中的所有$i\，存在一个由$i$组成的有限子集$j(i)$，该子集包含$i$，因此，如果$F\在H$中，$F(j)=1$，对于j(i)\setminus\{i\}$中的所有那么每个$g_i$至多是$j(i)-2$类的幂零值。这个结果是在对分解的完全范畴结构的分析中产生的某些群的幂零性的“微不足道的”证明的背景下产生的。在此上下文中，对组$G_I$（和子组$H$)有一个额外的约束:(iii)索引集$I$是集$Ω$（对于{\bbfn}$)中的某些$N\)中的$N$-子集的集合，并且$ext{Sym}(Ω)$作用于$G$，因此它置换坐标的方式与$ext{Sym}(Ω)$作用于$Ω$中的$N$-子集的方式相同。此外，$h$通过$ext{Sym}(Ω)$的操作得到稳定。Hrushovski提出了是否存在满足(i)、(ii)和(iii)的有限非阿贝尔群$G_i$及其直积的子群$H$的问题。在本文中，我们构造这样的群（附加约束(iii)使我们能够通过维数计数给出条件(ii)在我们的群中成立的非常直接的证明（见引理3.4))。我们可以假定$Ω$是无穷大的，并且$G_i$可以具有任何小于$N/2$的幂零类（参见定理3.5）。我们不知道这个类是否可以增加（或者实际上它是否有$N$)。

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